Velocidade Orbital – Uma velocidade de equilíbrio

A questão dos corpos que orbitam outros corpos, como a Terra (ou outro planeta) em torno do Sol, ou a Lua ao redor da Terra, também pode ser explicada pela teoria da gravitação estabelecida por Newton.

Newton propôs um experimento mental que, posteriormente, ficou conhecido como canhão de Newton, onde se coloca um canhão sobre uma montanha muito alta e dispara esse canhão com uma carga cada vez maior, introduzindo em seus projéteis velocidades também cada vez maiores.

É de se acreditar que o alcance também será cada vez maior, entretanto, devido a curvatura da Terra, é possível obter uma velocidade tal que o projétil retorne ao ponto de lançamento sem alcançar o solo, o que reiniciaria seu movimento. Neste ponto foi alcançada a Velocidade Orbital.

Mas o que é Velocidade Orbital ?

Velocidade Orbital é a mínima velocidade que um corpo de massa m tem que possuir para se manter em uma trajetória orbitando um astro, por exemplo, a Terra.

Pode-se provar que a Velocidade Orbital (V_O) depende apenas de constantes e fatores geométricos, como o raio médio da órbita. Neste caso a Força Gravitacional (F_g) deve agir como Força Centrípeta (F_c), ou seja, a força centrípeta é a própria força gravitacional F_g, alterando a direção do Vetor Velocidade.

A força gravitacional, como vimos anteriormente, é dada por:

F_g = GM_T.m /R²

mas no caso de corpos em órbita a distância do corpo ao centro da Terra será R + h, em vez de R , de modo que teríamos:

F_g = GM_T.m /(R+h)²

Já a força centrípeta, considerando a velocidade tangencial como sendo V_O e a distância ao centro de curvatura R+h, é da forma:

Igualando a força centrípeta e a força gravitacional, poderemos cancelar termos comuns aos dois membros, e após alguma álgebra alcançaremos uma expressão para determinar a Velocidade Orbital (V_O) em função do Raio Orbital (R+h).

 

 

 

Daí simplificando temos:

chegaremos a

 

 

Como R é o raio da Terra, para determinar a velocidade orbital apenas
é necessário a informação da altura em que se deseja orbitar.

Exercícios/Exemplos
O que aconteceria com a órbita de um satélite em volta da Terra se
a massa dele fosse reduzida a metade?
a) O seu raio orbital aumentaria o dobro.
b) O seu raio orbital reduziria a metade.
c) O raio da orbita ficaria a mesma.
d) O raio da orbita diminuiria e ele cairia.
Solução
Da equação que nos fornece a velocidade orbital vemos que a massa
envolvida é do astro orbitado e não do satélite. MT é a massa da
Terra, portanto a orbita não se altera.