Exercícios Propostos 10.3
Importância das Leis de Kepler:
- As Leis de Kepler descrevem o movimento planetário de forma precisa e elegante, representando um avanço significativo na astronomia.
- Essas leis forneceram evidências cruciais para a superação do modelo geocêntrico, que colocava a Terra no centro do universo, e a consolidação do modelo heliocêntrico, com o Sol no centro.
- Além disso, as Leis de Kepler serviram como base para a formulação da Lei da Gravitação Universal de Newton, que explica a força de atração entre quaisquer dois corpos com massa no universo.
1-Qual das seguintes afirmações descreve corretamente a 1ª Lei de Kepler?
a) Os planetas se movem em órbitas circulares perfeitas ao redor do Sol.
b) Os planetas se movem em órbitas elípticas ao redor do Sol, com a Terra em um dos focos da elipse.
c) Os planetas se movem em órbitas elípticas ao redor do Sol, com o Sol em um dos focos da elipse.
d) A velocidade de um planeta em órbita é constante em todos os pontos de sua trajetória.
Resposta correta: c) Os planetas se movem em órbitas elípticas ao redor do Sol, com o Sol em um dos focos da elipse.
Explicação:
A 1ª Lei de Kepler, também conhecida como a Lei das Órbitas Elípticas, afirma que os planetas orbitam o Sol em trajetórias elípticas, e não circulares. O Sol ocupa um dos focos dessa elipse. As outras alternativas são incorretas, pois:
a) As órbitas dos planetas não são perfeitamente circulares.
b) A Terra não é o centro do Sistema Solar, portanto não ocupa um dos focos da elipse.
d) A velocidade de um planeta em órbita varia ao longo de sua trajetória, sendo maior quando o planeta está mais próximo do Sol (periélio) e menor quando está mais distante (afélio).
2-Um planeta orbita uma estrela em uma trajetória elíptica. O planeta leva 3 meses para se mover da posição A para a posição B, varrendo a área A1. Se o planeta leva 1 mês para se mover da posição C para a posição D, qual das seguintes alternativas é a área varrida pelo raio vetor do planeta durante esse movimento (A2)?
2ª Lei de Kepler
a) A2 = A1/3 b) A2 = A1/2 c) A2 = A1 d) A2 = 2 * A1 e) A2 = 3 * A1
Resposta correta: a) A2 = A1/3
Explicação:
A 2ª Lei de Kepler, a Lei das Áreas, afirma que o raio vetor que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
No problema, o planeta leva três vezes mais tempo para se mover de A para B (3 meses) do que de C para D (1 mês). Como a velocidade areolar é constante, a área varrida em 1 mês (A2) será um terço da área varrida em 3 meses (A1).
A Influência da Massa na Órbita de Satélites
As fontes fornecidas focam na descrição das leis de Kepler e dos modelos geocêntrico e heliocêntrico, mas não abordam diretamente a influência da massa na órbita de satélites. No entanto, com base na nossa conversa anterior e utilizando conceitos da física, podemos analisar este tema.
A massa do satélite não influencia sua órbita. Isso pode ser observado na fórmula da velocidade orbital, deduzida a partir da Lei da Gravitação Universal de Newton e do conceito de força centrípeta:
Onde:
- V₀ é a velocidade orbital.
- G é a constante gravitacional universal.
- M é a massa do corpo central (planeta).
- R é o raio da órbita.
Note que a massa do satélite (m) não aparece na equação. Isso significa que dois satélites com massas diferentes, orbitando o mesmo planeta na mesma altitude, terão a mesma velocidade orbital e, portanto, o mesmo período orbital.
A massa do corpo central, por outro lado, tem um impacto direto na órbita do satélite. Quanto maior a massa do planeta, maior a força gravitacional que ele exerce sobre o satélite, e consequentemente:
- Maior velocidade orbital: Para se manter em órbita, o satélite precisa de uma velocidade maior para compensar a força gravitacional mais forte.
- Menor período orbital: Um satélite orbitando um planeta mais massivo completará sua órbita em menos tempo.
Em resumo:
- A massa do satélite não afeta sua órbita.
- A massa do corpo central influencia a velocidade e o período orbital do satélite.
É importante lembrar que esta análise é baseada em conceitos físicos gerais e não em informações específicas das fontes fornecidas.
3-Um novo planeta, chamado Planeta X, foi descoberto orbitando a mesma estrela do nosso Sistema Solar. O Planeta X tem um raio orbital médio de 9 UA (Unidades Astronômicas). Sabendo que a Terra tem um período orbital de 1 ano e um raio orbital médio de 1 UA, qual é o período orbital aproximado do Planeta X, em anos terrestres?
a) 3 anos b) 9 anos c) 27 anos d) 81 anos
Resposta correta: c) 27 anos
Explicação:
A 3ª Lei de Kepler, a Lei dos Períodos, afirma que o quadrado do período orbital de um planeta (T²) é proporcional ao cubo do raio médio de sua órbita (R³). Matematicamente:
T² / R³ = K
Onde K é uma constante que depende apenas da massa da estrela.
Como o Planeta X e a Terra orbitam a mesma estrela, a constante K é a mesma para ambos. Podemos então usar a 3ª Lei de Kepler para relacionar os períodos e raios orbitais dos dois planetas:
Substituindo os valores conhecidos
Simplificando a equação:
Logo, o período orbital aproximado do Planeta X é de 27 anos terrestres.
4- O período de movimento de Marte ao redor do Sol é de 686 dias. Sabendo que a distância média entre a Terra e o Sol é igual a 1,5.108 km, calcule a distância média entre Marte e o Sol.
Resolução:
