Altura máxima e alcance máximo

A altura máxima em um lançamento oblíquo, bem como o seu alcance são funções da velocidade de lançamento v0, mas também do ângulo de lançamento θ. Vamos encontrar uma equação que nos dê essas grandezas em função dessas variáveis e tirar algumas conclusões.

Altura máxima hmáx

Sabemos que no ponto de altura máxima (hmáx) a velocidade na direção de y é vy=0, então da equação de Torricelli temos:

vy2 = v02 -2g.h→ 0 = (v0.senθ)2-2.ghMax   , daí  2.ghMax= v02.sen2 θ

Altura máxima lançamento oblíquo

Então podemos a partir desta equação determinar a altura máxima que um corpo atinge ao ser lançado obliquamente.

Alcance máximo  xmáx

A partir  da equação  x = v0x.t = v0cosθ.t , podemos determinar o alcance a partir do valor da velocidade de lançamento e do ângulo. Sabemos que o tempo de subida ( ts ) é  igual ao tempo de queda  (tq), logo o tempo total desde  o lançamento até a queda é  tt = 2.ts.

Na altura máxima  vy =0  daí    vy= v0y-g.t

Equação do tempo de queda de um corpo lançado obliquoamente               Alcance e trajetória de um lançamento oblíquo

Que colocada na equação do alcance x = v0cosθ.t , temos :

Equação do alcance

 

 

Da equação acima vemos que o seu valor é máximo quando θ=45°, ou seja, no lançamento oblíquo sem a presença de ar, um corpo quando lançado de um ângulo de 45°, vai ter um alcance máximo.

É interessante observar que ao lançar um corpo de certo ângulo θ, o alcance será, exatamente, igual se ele for lançado com um ângulo θ1  em que θ1 seja complementar de θ, ou seja,  ( θ + θ1) = 90°

Lançamento oblíquos com ângulos complementares resultam em um mesmo alcance.

Observe que a representação acima nos diz que o ponto A é atingido no lançamento de ângulo 15° que é o mesmo para um lançamento de 75° ( ângulos complementares)

O mesmo acontece no ponto B (30° e 60° são complementares)

O ponto C corresponde ao alcance máximo 45°.

Exercício/Exemplo

Determine o alcance de um objeto lançado com velocidade de 20m/s sob um ângulo de 30°e 60° respectivamente.

equação para determinar o alcance com ângulos complementares.

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